Dans cet article je vous propose un précieux guide qui deviendra votre allié tout au long de vos deux années en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE). Cette liste de théorèmes incontournables constitue une ressource inestimable.
Il est important de noter que cette liste, bien que complète, n'a pas pour prétention d'être exhaustive. Ainsi, cette compilation ne se veut pas figée, mais plutôt dynamique, susceptible de s'enrichir au fil des semaines à venir, en fonction de vos retours et de mon expérience d'enseignant.
Chaque théorème présent dans cette liste a été soigneusement sélectionné pour sa pertinence dans le programme. La démonstration de ces théorèmes représente un exercice fondamental dans le développement de votre compréhension. Ces démonstrations sont à considérer comme des exercices classiques. Cette liste est à destination des étudiants en filière MPSI et PCSI. Certains théorèmes listés ne sont pas au programme de la filière PCSI mais peuvent constituer un hors-programme utile pour les meilleurs étudiants de cette filière.
N'hésitez pas à explorer cette liste, à l'étudier avec attention, et à revenir régulièrement pour découvrir de nouvelles additions. L'apprentissage des mathématiques requiert un effort continu. Mon objectif est de vous offrir les outils nécessaires pour aborder les concours avec confiance et assurance.
Théorèmes d'Analyse
Théorème fondamental du calcul intégral
Théorème d'Intégration Par Parties
Théorème de Changement de Variable C1
Primitives usuelles à savoir retrouver
Structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle d'ordre 1
Unicité de la solution à une équation différentielle d'ordre 1 avec condition initiale
Structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Densité de Q (et R\Q) dans R
Théorème de la borne supérieur
Théorème d'encadrement
Caractère bornée d'une suite convergente
Théorème de divergence par minoration / majoration
Conservation des inégalités larges par passage à la limite
Théorème de la limite monotone
Théorème de convergence des suites adjacentes
Théorème de convergence des suites extraites d'une suite convergente
Théorème de Bolzano-Weierstrass par dichotomie
Monotonie des suites récurrentes
Caractérisation séquentielle du sup et de l'inf d'un sous-ensemble borné de R.
Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème de Rolle
Théorème et Inégalité des Accroissements Finis
Théorème des bornes atteintes
Caractérisation séquentielle de la continuité
Formule de Leibniz
Position du graphe d'une fonction convexe par rapport à ses sécantes
Inégalité des pentes
Inégalité de Jensen
Caractérisation de la convexité par les dérivées première et seconde
Division euclidienne
Algorithme d'Euclide
Théorème de Bézout
Théorème de Gauss
Théorème fondamental de l'arithmétique
Petit théorème de Fermat
Formule du binôme pour des éléments commutants
Caractérisation des sous-groupes
Caractérisation des sous-anneaux
Formule de Taylor pour les polynômes
Formule de Taylor-Young
Formule de Taylor avec reste intégral
Inégalité de Taylor-Lagrange
Développements limités usuels
Règles de calcul pour les équivalents
Théorème de Heine
Division euclidienne des polynômes
Théorème de d'Alembert-Gauss (démonstration optionnelle)
Décomposition en produit d'irréductibles sur C[X]
Décomposition en produit d'irréductibles sur R[X]
Théorème d'interpolation de Lagrange
Décomposition en éléments simples sur C
Décomposition en éléments simples sur R
Sommes de Riemann
Théorème fondamental du calcul intégral
Intégration par parties et changement de variables
Divergence grossière des séries numériques
Lien suite série
Critères de convergence des séries à termes positifs
Comparaison série-intégrale
Séries de Riemann et série de Bertrand (hors programme)
Critère des séries alternées
Théorème de sommation par paquets
Produit de Cauchy de deux séries
Théorèmes d'Algèbre
Théorèmes de Probabilités